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题型：实践探究题题类：难易度：困难

湖南省长沙市梅溪湖中学2023-2024学年九年级上学期数学入学考试试卷

著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.

【提出问题】

我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？

【构造关系】

将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照 $\text{[math]}$ 的比例放大或缩小，其中 $\text{[math]}$ ，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为 $\text{[math]}$ .

（1）、当系变倍数为3时，求解一元二次方程 $\text{[math]}$ 的“系变方程”.

（2）、【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，其“系变方程”也有两个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

（3）、已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，问是否存在定值 $\text{[math]}$ ，对于任意实数 $\text{[math]}$ ，都满足 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值.若不存在，请说明理由.

举一反三

已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）

已知方程x²﹣5x﹣1=0的两根分别为x₁与x₂ ，则2x₁²﹣x₁x₂+2x₂²=（　　）

若x₁ ， x₂是一元二次方程3x+4=x²的两个根，则x₁+x₂等于（　　）

一元二次方程2x²﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x₁、x₂ ，则x₁+x₂的值为（　　）

设m、n是一元二次方程x²+2x﹣7=0的两个根，则m²+3m+n={#blank#}1{#/blank#}

已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m﹣2）x+（m²﹣2m）=0．

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