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题型：综合题题类：难易度：困难

江西省赣州市寻乌县2023年中考一模数学试卷

定义：若直线 $\text{[math]}$ 与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）、抛物线 $\text{[math]}$ 的“反碟长” $\text{[math]}$ ．

（2）、抛物线随其顶点沿直线 $\text{[math]}$ 向上平移，得到抛物线 $\text{[math]}$ ．

①当抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点平移到点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式是 ▲ ．抛物线 $\text{[math]}$ 的“反碟长”是 ▲ ．

②若抛物线 $\text{[math]}$ 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是 ▲ ．（填写所有正确的选项）

A.15 B.16 C.24 D.25

③当抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的两个交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成一个等边三角形时（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左右），求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

举一反三

定义运算 $\text{[math]}$ ，下列给出了关于这种运算的几个结论：

① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； ④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

其中正确结论的序号是{#blank#}1{#/blank#}．（把你认为所有正确结论的序号填在横线上）

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点 $\text{[math]}$ .

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标：{#blank#}1{#/blank#}．

在平面直角坐标系xOy中，对于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：如果 $\text{[math]}$ ，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”.

例如：点(5，6)的“妫川伴侣”为点(5，6)，点(-5，6)的“妫川伴侣”为点(-5，-6).

对于有理数a、b，定义运算“⊕”；a⊕b＝ab﹣2

如图，抛物线y＝ax²+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F

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