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题型：实践探究题题类：常考题难易度：困难

浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.

（1）、如图1， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .四边形 $\text{[math]}$ 是被 $\text{[math]}$ 分割成的“师梅四边形”，求 $\text{[math]}$ 长；

（2）、如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点C是直线 $\text{[math]}$ 在第一象限上的一点，且 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的“师梅线”，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.

（3）、如图3，圆内接四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ①求证：四边形 $\text{[math]}$ 是“师梅四边形”；②若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

举一反三

如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S_△DEF：S_△ABF=4：25，则DE：EC=（　　）

如图，在△ABC中，∠BAC=135°，BC=10，分别以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，（∠ABD=∠ACE=90°），点M、N分别是AD、AE的中点，连接MN，则DE={#blank#}1{#/blank#}．

如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AD于点E，若点P，A，B构成以AB为腰的等腰三角形时，则线段PE的长是{#blank#}1{#/blank#}。

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D ，且AE⊥CD ，垂足为点E ．

如图所示．△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D。连接MD，作∠BNE=∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB=20 $\text{[math]}$ ，MD=14 $\text{[math]}$ ，则NE的长为{#blank#}1{#/blank#}。

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