- 二一组卷

题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

山东省德州市乐陵市2022年九年级第二次练兵考试数学试题

在学完菱形后，某教学兴趣小组尝试利用手中的数学工具——三角板和圆规作出一个内角为60°的菱形，下面是他们探究过程中的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：可以尝试利用含60°角的三角板和圆规作出菱形．如图①，将三角板ABC放置在图纸上、延长直角边BA，以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交上弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE即为所求作的菱形．

小华：我可以在不利用三角板的前提下，作出符合要求的菱形．如图②，作半圆O及其直径AB、分到以点OB为圆心、大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点MN，作直线MN交半径圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD，CD，CO，则四边形AOCD即为所作的菱形．

任务：

（1）、小明的做法中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是（填序号）

①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形

③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（2）、请证明小明作出的图形四边形ACDE是菱形．

（3）、你认为小华作出的四边形AOCD是有一个角为60°的菱形吗？请判断并说理由．

（4）、如图③，小齐利用含45°角的三角板ABC和圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝10，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点P到直线MN的距离．

举一反三

已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF．根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是（　　）

如图，在▱ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．

如图①，菱形ABCD中，AB=5cm，动点P从点B出发，沿折线BC﹣CD﹣DA运动到点A停止，动点Q从点A出发，沿线段AB运动到点B停止，它们运动的速度相同，设点P出发xs时，△BPQ的面积为ycm² ，已知y与x之间的函数关系如图②所示，其中OM，MN为线段，曲线NK为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落到 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ .

如图，将两张长为8，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH.

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