- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

浙江省诸暨市浣纱中学2021-2022学年九年级上学期数学9月月考试卷

定义：如果两个函数y₁ ， y₂存在x取同一个值，使得y₁＝y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，对应的x值为y₁ ， y₂的“等值根”．

（1）、函数y₁＝ $\text{[math]}$ x+b与 $\text{[math]}$ 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．

（2）、如图所示的是y＝﹣|x²+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x²﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y₁＝ $\text{[math]}$ x+b与y₂＝﹣|x²+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．

举一反三

已知抛物线y_n＝－(x－a_n)²＋a_n(n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)与x轴的交点为A_n_－1( $\text{[math]}$ ， 0)和A_n(b_n ， 0)．当n＝1时，第1条抛物线y₁＝－(x－a₁)²＋a₁与x轴的交点为A₀(0，0)和A₁(b₁ ， 0)，其他依此类推．

(1) 求a₁、b₁的值及抛物线y₂的解析式；
(2) 抛物线y₃的顶点坐标为；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为用含n的式子表示)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式
(3) 探究下列结论：
①若用A_n_－1 A_n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，则A₀A_{1等于多少？}_，A_n_－1 A_n等于多少？
②是否存在经过点A₁(b₁ ， 0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

如果定义新运算“※”，满足a※b=a×b﹣a÷b，那么1※（﹣2）={#blank#}1{#/blank#}．

设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数 $\text{[math]}$ ，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，所以说函数 $\text{[math]}$ 是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”.如图1，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是闪亮四边形， $\text{[math]}$ 是亮线.

对于任意的有理数，定义一种新的运算： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ={#blank#}1{#/blank#}

问题提出：

m，n分别是什么数时，多项式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 恒等？

阅读理解：

所谓恒等式，就是指不论用任何数值来代替式中的变量，左、右两边的值都相等的等式．我们用符号“ $\text{[math]}$ ”来表示恒等，读作“恒等于”．于是，上面的问题也可以表述为：已知 $\text{[math]}$ ，求待定系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

问题解决：

（方法1—数值代入法）由恒等式的概念，我们每用一个数值来代替问题中的 $\text{[math]}$ ，即可得到一个关于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的方程．因此，要求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的值，只需要用两个不同的数值分别代替式中的 $\text{[math]}$ ，就可以得到一个关于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的二元一次方程组，解这个方程组，即可求得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．