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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

浙江省宁波市2021年数学中考模拟试卷

定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”.如图①， $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称点D是 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的“奇点”.

（1）、关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有（填写正确的序号）.

①1点；②2点；③1点或2点；④1点或2点或3点.

（2）、如图②， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上的“奇点”，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

（3）、如图③， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ .

①求证：点D是 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的“奇点”；

②若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，求 $\text{[math]}$ 的值.

举一反三

已知抛物线y=a（x﹣3）²+ $\text{[math]}$ 过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：

①抛物线的对称轴是直线x=3；

②点C在⊙D外；

③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；

④直线CM与⊙D相切．

正确的结论是（）

如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），

如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.

如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．

如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（）

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