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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2021届九年级上学期数学期末考试试卷

如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径，过点O作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F，交 $\text{[math]}$ 于点D，E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）、求证：E是 $\text{[math]}$ 的中点；

（2）、求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

（3）、如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长.

举一反三

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角相等．也就是，如图（1），⊙O中， $\text{[math]}$ 所对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB．

在平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O，如图1摆放，∠B=90°，BC=m，AC=2CE=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转，且∠ECD=∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）．

如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上， $\text{[math]}$ ，切线DE交AC的延长线于点E，连接OC.

定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的截线，截得四边形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的“幸福线”．

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