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题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

浙江省2017年绍兴市诸暨市数学高考二模试卷

如图，P（x₀ ， y₀）是椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方

（1）、当P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；

（2）、当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）

①求△OPQ的面积

②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．

定理：若点（x₀ ， y₀）在椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1上，则椭圆在该点处的切线方程为 $\text{[math]}$ +y₀y=1．

举一反三

已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．

（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；

（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S₁ ，外接圆面积为S₂ ，当P在M上运动时，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

设椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x²+y²=a²+b²；若抛物线x²=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ．

椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁（﹣c，0）、F₂（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF₂Q=90°，且△PF₂Q的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

椭圆 $\text{[math]}$ 的两顶点为A，B如图，离心率为 $\text{[math]}$ ，过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P异于A，B两点时，求证： $\text{[math]}$ 为定值．

已知△ $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，且顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是（）

三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的上顶点，若以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 有且只有三解，则椭圆的离心率的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

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