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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

抛物线与x轴的交点+++++++++4

已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．

（1）、求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；

（2）、若抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（温馨提示：整数点的横、纵坐标都为整数）

（3）、若点P（x₁ ， y₁）与Q（x₁+n，y₂）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y₁=y₂ ，求代数式4x₁²+12x₁n+5n²+16n+200的值．

举一反三

如图，抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y₁），Q（ $\text{[math]}$ ，y₂）是函数图象上的两点，则y₁＞y₂；③c=﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ $\text{[math]}$ 或﹣ $\text{[math]}$ ．其中正确的有{#blank#}1{#/blank#}．（请将正确结论的序号全部填在横线上）

已知二次函数y= $\text{[math]}$ x²+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D

（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；

（Ⅱ）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；

（Ⅲ）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．

若函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴只有一个交点，则b的值是{#blank#}1{#/blank#}．

如果关于x的二次函数y＝2x²－3x＋m与x轴只有一个交点，则m＝{#blank#}1{#/blank#}.

抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，且A、B两点在 $\text{[math]}$ 与原点之间 $\text{[math]}$ 不包含端点 $\text{[math]}$ ，则a的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}.

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