已知数列{an}为等差数列，a1=2，{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．

题型：解答题题类：常考题难易度：困难

2016-2017学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试卷（理科）

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，{a_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}为等比数列，且a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n﹣1）•2ⁿ⁺²+4对任意的n∈N*恒成立．

（1）、求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

（2）、是否存在非零整数λ，使不等式sin $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

（3）、各项均为正整数的无穷等差数列{c_n}，满足c₃₉=a₁₀₀₇ ，且存在正整数k，使c₁ ， c₃₉ ， c_k成等比数列，若数列{c_n}的公差为d，求d的所有可能取值之和．

举一反三

已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a_k=b_k（k=1，2，…，n）的数列{a_n}；

（2）写出c_k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S_n；

（3）利用（1﹣b₁）²+（2﹣b₂）²+…+（n﹣b_n）²≥0，证明：b₁+2b₂+…+nb_n≤ $\text{[math]}$ n（n+1）（2n+1）及a₁+2a₂+…+na_n≥S_n ．

（参考：1²+2²+…+n²= $\text{[math]}$ n（n+1）（2n+1））

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