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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

用空间向量求平面间的夹角

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：

①a= $\text{[math]}$ ；②a=1；③a= $\text{[math]}$ ；④a=2；⑤a=4；

（1）、当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；

（2）、在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正值；

（3）、记满足（1）的条件下的Q点为Q_n（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的Q有几个？试求二面角Q_n﹣PA﹣Q_n₊₁的大小．

举一反三

等腰△ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角P﹣AE﹣C的大小为120°，设点P在面ABE上的射影为H．

（I）证明：点H为BE的中点；

（II）若AB=AC=2 $\text{[math]}$ ，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值．

如图，三棱锥V﹣ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB= $\text{[math]}$ ，VC=1．

（Ⅰ）证明：AB⊥VC；

（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC的体积．

如图，在三角锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

如图，△ABC中， $\text{[math]}$ ，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上异于端点的一点，平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O， $\text{[math]}$ 底面ABCD，点M为PC中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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