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题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

椭圆C： $\text{[math]}$ ，（a＞b＞0）的离心率 $\text{[math]}$ ，点（2， $\text{[math]}$ ）在C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

举一反三

已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的右焦点为（ $\text{[math]}$ ，0），离心率为 $\text{[math]}$ ．

若方程 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}

给定椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为 $\text{[math]}$ 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，其短轴上的一个端点到F的距离为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁ ， l₂ ，使得l₁ ， l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁ ， l₂分别交其“准圆”于点M，N．

①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁ ， l₂的方程；

②求证：|MN|为定值．

如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，且椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行且与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，B(x₂ ， y₂)．

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 求三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为长轴的右端点． $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上关于原点对称的两点．直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，且与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，求证：以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆恒过原点．

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 重合，且抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点．

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