- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷

如图，设 A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中a_ij （ i ， j =1，2，3，L，n ）表示位于第i 行第 j 列的数，且a_ij 取值为 1 或－1.

对于数表 A 给出如下定义：记 x_i为数表 A 的第i 行各数之积，y _j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x₁+ x₂+L+ x $\text{[math]}$ )+(y₁+ y₂L+ y $\text{[math]}$ )，将S 称为数表 A 的“积和”.

（1）、当n = 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值；

（2）、是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；

（3）、当n =10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值.

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），C（x₃ ， y₃），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：

将|x₁﹣x₂|，|x₂﹣x₃|，|x₃﹣x₁|中的最大值，称为△ABC的横长，记作D_x；将|y₁﹣y₂|，|y₂﹣y₃|，|y₃﹣y₁|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作D_y；将 $\text{[math]}$ 叫做△ABC的纵横比，记作λ= $\text{[math]}$ ．

例如：如图1，

△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则D_x=|2﹣（﹣1）|=3，D_y=|3﹣（﹣2）|=5，

所以λ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁ ， b₁ ， c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂ ， b₂ ， c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂ ， c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”.

求函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”.

小明是这样思考的：由函数y=﹣x²+3x﹣2可知，a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂ ， c₁+c₂=0，求出a₂ ， b₂ ， c₂ ，就能确定这个函数的“旋转函数”.

请参考小明的方法解决下面问题：

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