2024年中考数学热点探究十四折叠问题

1. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线翻折压平，得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 一条弦，将劣弧沿弦 $\text{[math]}$ 翻折，连结 $\text{[math]}$ 并延长交翻折后的弧于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，矩形纸片 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中 $\text{[math]}$ 的长为（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线 $\text{[math]}$ 剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段 $\text{[math]}$ 的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（）

A . 6 B . 12 C . 15 D . 25

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7. 如图，将正方形纸片 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线 $\text{[math]}$ 上的点P处、 $\text{[math]}$ 分别是折痕，若点P沿 $\text{[math]}$ 从点B向点D移动，则阴影部分的周长（）

A . 先变大，后变小 B . 先变小，后变大 C . 当占P在 $\text{[math]}$ 中点处时，阴影部分周长最大 D . 保持不变

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8. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，翻折后的弧交 $\text{[math]}$ 于D．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 8 D . 10

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠到如图所示的位置，线段 $\text{[math]}$ 恰好经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴的点 $\text{[math]}$ 位置，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠至 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好与正方形 $\text{[math]}$ 的中心为圆心的 $\text{[math]}$ 相切，则折痕 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . 以上都不对

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11. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上一动点，将△ACD沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使点A落在点E处，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时， $\text{[math]}$ ．

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12. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将矩形沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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13. 如图，在菱形ABCD中，点 $\text{[math]}$ 在BC上，将 $\text{[math]}$ 沿AE折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在BC的延长线上，AG与CD相交于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，D为斜边 $\text{[math]}$ 的中点，点E在边 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 叠至 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的延长线经过点D ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为， $\text{[math]}$ 的长为．

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15. 如图，在矩形ABCD中， AB=3， AD=4，点P 是边AD上的一个动点(点P不与点A， D重合)，将△BAP沿BP折叠，使点A落在点A'的位置，连接AA'， DA'，若AA' = DA'，则AP 的长为．

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16. 我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 $\text{[math]}$ .
图①图② 图③

（1）在图①中，若 $\text{[math]}$ ，则AB的长为cm；

（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF ，连接CE ，将CB折叠到CE上，点B的对应点H ，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（ $\text{[math]}$ ），连接BE ，作 $\text{[math]}$ ，交AB于点F ，延长EF ， CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E ， F恰好分别是AD ， AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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17. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中线，以 $\text{[math]}$ 为直角边在其右侧作直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图2，若将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 上有一点M ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 所在的平面内得到 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点P ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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18. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平面内的一点．
图1 图2 图3

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的外部，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）如图3， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点时，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，设旋转角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，直接写出旋转中 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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19. 定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．

（1）如图1，将 $\text{[math]}$ 纸片沿中位线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的 $\text{[math]}$ 处，再将纸片分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 都与点 $\text{[math]}$ 重合，得到双层四边形 $\text{[math]}$ ，则双层四边形 $\text{[math]}$ 为形．

（2） $\text{[math]}$ 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（3）如图3，四边形 $\text{[math]}$ 纸片满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

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20. 在 $\text{[math]}$ 中，D为AB边上一点，过点D作 $\text{[math]}$ 交AC于点E ，以DE为折线，将 $\text{[math]}$ 翻折，设所得的 $\text{[math]}$ 与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则y的值为；

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为AB中点，则y的值为；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.

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21. 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）操作发现：将 $\text{[math]}$ 折叠，使边 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点是点 $\text{[math]}$ ，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
②设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（2）进一步探究发现： $\text{[math]}$ ，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明： $\text{[math]}$ ．

（3）拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的 $\text{[math]}$ 是黄金三角形．
如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形较长对角线的长.

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22. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点M在边 $\text{[math]}$ 上，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，使点D落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N ．
【猜想】 $\text{[math]}$

（1）【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠
∴ $\text{[math]}$
∵四边形 $\text{[math]}$ 是矩形
∴ $\text{[math]}$ （矩形的对边平行）
∴ $\text{[math]}$ （）
∴ $\text{[math]}$ （等量代换）
∴ $\text{[math]}$ （）

（2）【应用】
如图2，继续将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，点A落在点 $\text{[math]}$ 处，点B落在点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．
⑴猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
⑵若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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23.

（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ 点．求证： $\text{[math]}$

（2）【类比迁移】如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

（3）【拓展应用】如图③，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的三等分点， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

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24. 综合与实践

（1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，求∠EAF的正切值；

（2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P ，若 $\text{[math]}$ ，求线段PM的长；

（3）【迁移应用】如图3，在矩形ABCD中，点E ， F分别在边BC ， CD上，将矩形ABCD沿AE ， AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A ， M ， G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB＝3，AD＝5，请求出线段BE的长．

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2024年中考数学热点探究十四折叠问题

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共5题，共40分）

四、实践探究题（共4题，共35分）

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2024年中考数学热点探究十四 折叠问题

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共5题，共40分）

四、实践探究题（共4题，共35分）

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