江苏省南通市如皋市2021届高三下学期数学5月第三次适应性考试试卷

1. $\text{[math]}$ ＝（　　）

A . ﹣1 B . ﹣i C . 1 D . i

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2. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（）条件．

A . 充分 B . 必要 C . 充分必要 D . 既非充分又非必要

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知正三角形ABC的边长为3，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设椭圆与双曲线的离心率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，且面 $\text{[math]}$ 面ABCD，若 $\text{[math]}$ ，则该四棱锥内可以放置最大的球的半径为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知圆 $\text{[math]}$ ，点P在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知正方体 $\text{[math]}$ 中，设与对角线 $\text{[math]}$ 垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M，则关于多边形M的说法正确的是（）

A . M可能为正三角形 B . M可能为正方形 C . 若M为六边形，则面积为定值 D . 若M为六边形，则周长为定值

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12. 已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个周期 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有7个零点 C . $\text{[math]}$ 的最大值为3 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数

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13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 已知锐角 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有下列四个判断：
甲： $\text{[math]}$ ；乙： $\text{[math]}$ ；丙： $\text{[math]}$ ；丁： $\text{[math]}$ ．

若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是．

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15. 已知圆周上等距离的排列着八个点 $\text{[math]}$ ，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最小值，则 $\text{[math]}$ ．此时 $\text{[math]}$ ．

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17. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， ▲ ，求 $\text{[math]}$ ．
请从① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 三个条件中选择一个补充在上面问题中，并作答．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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19. 某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．

方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．

小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数

0

1

2

3

空调台数

20

30

30

20

用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．

（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；

（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．

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20. 如图，在三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 面DEF， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，证明：面 $\text{[math]}$ 面CDE；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点P在椭圆上， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的周长为6，面积为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过 $\text{[math]}$ 直线与椭圆交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：两函数图象有且只有一个公共点；

（2）证明： $\text{[math]}$ ．

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江苏省南通市如皋市2021届高三下学期数学5月第三次适应性考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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维修次数	0	1	2	3
空调台数	20	30	30	20

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