天津市南开中学2021届高三上学期数学第一次月考试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 对于实数 $\text{[math]}$ ，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 函数 $\text{[math]}$ 的零点一定位于区间（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 函数y= $\text{[math]}$ sin2x的图象可能是（）

A . B . C . D .

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\text{[math]}$ ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 2﹣ $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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7. 定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ 个零点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4042 B . 4041 C . 4040 D . 4039

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9. 若曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 存在公切线，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ ．

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11. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项是．(用数字作答)

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值之和是．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则实数m的值为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有4个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 的周期为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值及函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）为奇函数．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）解不等式 $\text{[math]}$ ；

（3）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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18. 如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（Ⅲ）若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的点，且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ 的值．

（2）若对于任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 成立，试求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）记 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

（3）是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，请说明理由.

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天津市南开中学2021届高三上学期数学第一次月考试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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