北京市高级中等学校2020年招生考试数学模拟试题二

修改时间：2021-05-20 浏览次数：422 类型：中考模拟编辑

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一、选择题（本题共16分,每小题2分。第1-8题均有四个选。正确选项只有一个.）

1. 天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平均距离，即149597870700m，约为149600000km.将数149600000用科学记数法表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）

A . 30° B . 90° C . 120° D . 180°

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3. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD.则∠CBD的度数是（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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4. 如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么下列不等式成立的是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，以点 $\text{[math]}$ 为圆心、任意长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．再分别以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心、大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ．作射线 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长可能为 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 3

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7. 下列命题中，假命题是( )

A . 矩形的对角线相等 B . 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C . 矩形的对角线互相平分 D . 矩形对角线交点到四条边的距离相等

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8. 在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）

9. 若分式 $\text{[math]}$ 有意义，则的取值范围是．

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10. 结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：， $\text{[math]}$ ．

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11. 如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为.（结果保留π）

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12. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的度数为度．

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13. 如图，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边，在第一象限作菱形 $\text{[math]}$ ，并使 $\text{[math]}$ ，再以对角线 $\text{[math]}$ 为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形 $\text{[math]}$ ，再依次作菱形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的圆的圆心坐标为．

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15. 下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：

同学	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	90	88	92	94	91
乙	90	91	93	94	92

根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是．

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16. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时停止运动．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）

17. 计算： $\text{[math]}$

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18. 解不等式组 $\text{[math]}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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19. 已知关于的方程 $\text{[math]}$ 有实数根．

（1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

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21. 8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表(得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀).

	平均分	方差	中位数	众数	合格率	优秀率
一班	7.2	2.11	7	6	92.5%	20%
二班	6.85	4.28	8	8	85%	10%

根据图表信息，回答问题：

（1）用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；

（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些.你认为谁的推断比较科学合理，更客观些.为什么？

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22. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为a、b、c．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的和与 $\text{[math]}$ 的大小关系；

（2）求证： $\text{[math]}$ 的内角和等于 $\text{[math]}$ ；

（3）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是直角三角形．

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23. 若一个两位数十位、个位上的数字分别为 $\text{[math]}$ ，我们可将这个两位数记为 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 $\text{[math]}$ ．

（1）【基础训练】
解方程填空：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

（2）【能力提升】
交换任意一个两位数 $\text{[math]}$ 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定能被整除， $\text{[math]}$ 一定能被整除， $\text{[math]}$ 一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

（3）【探索发现】
北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 $\text{[math]}$ ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；

②设任选的三位数为 $\text{[math]}$ （不妨设 $\text{[math]}$ ，试说明其均可产生该黑洞数．

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24. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求和 $\text{[math]}$ 的值；

（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，与双曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的面积．

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25. 一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与轴的负半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

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26. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）将抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时先向右平移4个单位长度，再向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到抛物线 $\text{[math]}$ 和□ $\text{[math]}$ ，在向下平移过程中， $\text{[math]}$ 与轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积记为 $\text{[math]}$ ，试探究：当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 有最大值，并求出 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，设此时抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是轴上的动点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），且 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是．

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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28. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 所在的直线对称， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一动点．

（1）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

（2）当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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北京市高级中等学校2020年招生考试数学模拟试题二

一、选择题（ 本题共16分,每小题2分。第1-8题均有四个选。正确选项只有一个.）

二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）

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一、选择题（本题共16分,每小题2分。第1-8题均有四个选。正确选项只有一个.）

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