修改时间:2024-07-12 浏览次数:1192 类型:中考模拟
模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B,他总是先去A营,再到河边饮马,之后再去B营,如图 ①,他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢?
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②,作B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是所求的位置.
请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答.
∵直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上
∴CB=,C′B=
∴AC+CB=AC+CB′=.
在△AC′B′中,∵AB′<AC′+C′B′,∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结:
本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C为AB′与l的交点,即A、C、B′三点共线).
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.
模型应用
如图 ④,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,F是AC上一动点.
求EF+FB的最小值
分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F,则EF+FB的最小值就是线段的长度,EF+FB的最小值是.
如图⑤,已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是 的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值是;
如图⑥,一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y轴分别交于A,B两点,点O为坐标原点,点C与点D分别为线段OA,AB的中点,点P为OB上一动点,求:PC+PD的最小值,并写出取得最小值时P点坐标.
已知,如图,▱ABCD中,BC=8cm,CD=4cm,∠B=60°,点M从点D出发,沿DA方向匀速运动,速度为2cm/s,点N从点B出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s,过M作MF⊥CD,垂足为F,延长FM交BA的延长线于点E,连接EN,交AD于点O,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
试题篮