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题型：解答题题类：难易度：困难

四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷

如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形的周长为 $\text{[math]}$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $\text{[math]}$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与椭圆的交点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

举一反三

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 $\text{[math]}$ ，且过点D（2，0）．

已知p：方程 $\text{[math]}$ =1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线 $\text{[math]}$ =1的离心率e∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

已知椭圆G： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（b＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F，且△MFN的面积为4 $\text{[math]}$ ．

若方程 $\text{[math]}$ 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①若C为椭圆，则 $\text{[math]}$ ；

②若C为双曲线，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；

③曲线C不可能是圆；

④若 $\text{[math]}$ ，曲线C为椭圆，且焦点坐标为 $\text{[math]}$ ；

⑤若 $\text{[math]}$ ，曲线C为双曲线，且虚半轴长为 $\text{[math]}$ ．

其中真命题的序号为{#blank#}1{#/blank#}.（把所有正确命题的序号都填在横线上）

已如椭圆E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在E上.

古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率可能为（）

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