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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省广州市番禺区石北中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为BD的中点， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，且 $\text{[math]}$ .

（1）、求三棱锥 $\text{[math]}$ 的高；

（2）、求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

（3）、在棱AD上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ？若存在，并求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

举一反三

已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ .

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=AA₁=A₁C=2，平面ACC₁A₁⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为 $\text{[math]}$ 轴，直线AC为 $\text{[math]}$ 轴，直线DA₁为 $\text{[math]}$ 轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：

如图所示，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是正三角形， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

在如图所示的几何体中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ 平面ACF；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 求直线AE与平面ACF所成角的正弦值．

已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转角 $\text{[math]}$ ，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至 $\text{[math]}$ ，使得两三角形所在平面的距离为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到八面体 $\text{[math]}$ ，则该八面体体积的取值范围为{#blank#}1{#/blank#}．

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