- 二一组卷

题型：填空题题类：难易度：容易

湖南省衡阳市四校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

举一反三

如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形

已知，如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF．则不正确的等式是（）

如图，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 平分线上的点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，下列结论错误的（　　）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P、Q是边AC、BC上的两个动点， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（ $\text{[math]}$ ）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}秒时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 全等．

【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边 $\text{[math]}$ 上时，猜想 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 数量关系，并加以证明；

（2）再探究一般情形，如图2，当点E在 $\text{[math]}$ 内部时，证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】（3）如图3，当点E在 $\text{[math]}$ 外部时， $\text{[math]}$ 于点H，过点E作 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 的延长线于点G， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

综合与实践

【模型感知】

手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

【模型应用】

（2）如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一定的角度，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

（3）如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形．当点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在的数量关系为_____________．

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