（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和 ， 延长交的延长线于点H，求与的数量关系和位置关系．

【类比探究】（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形 ， 且矩形矩形 ， ， ”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若 ， 求的长．

【拓展延伸】（3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形 ， 且菱形菱形 ， 如图3， ， ， 平分 ， 点P在射线上，在射线上截取 ， 使得 ， 连接 ， ， 当时，直接写出的长．

【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的 ， 小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．

因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．

已知和都是等腰直角三角形，且 ．

【初步探究】（1）小鸣将绕点A 在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由；

【深入探究】（2）若 ， 旋转过程中，当点D、点 E 和的中点O 三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由．

【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若 ， 则                     （ 直接写出结果）；

【拓展探究】（4）如图3，当 ， ， 则CD=               （ 直接写出结果）