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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球 $\text{[math]}$ ，过球面上一点 $\text{[math]}$ 作两条大圆的弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们构成的图形叫做球面角，记作 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ），其值为二面角 $\text{[math]}$ 的大小，点 $\text{[math]}$ 称为球面角的顶点，大圆弧 $\text{[math]}$ 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点 $\text{[math]}$ ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧组成的图形称为球面 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧称为球面 $\text{[math]}$ 的边， $\text{[math]}$ 三点称为球面 $\text{[math]}$ 的顶点；三个球面角 $\text{[math]}$ 称为球面 $\text{[math]}$ 的三个内角.

已知球心为 $\text{[math]}$ 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 $\text{[math]}$ ．

（1）、球面 $\text{[math]}$ 的三条边长相等（称为等边球面三角形），若 $\text{[math]}$ ，求球面 $\text{[math]}$ 的内角和；

（2）、类比二面角，我们称从点 $\text{[math]}$ 出发的三条射线 $\text{[math]}$ 组成的图形为三面角，记为 $\text{[math]}$ .

其中点 $\text{[math]}$ 称为三面角的顶点， $\text{[math]}$ 称为它的棱， $\text{[math]}$ 称为它的面角. 若三面角 $\text{[math]}$ 的三个面角的余弦值分别为 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）求球面 $\text{[math]}$ 的三个内角的余弦值；

（ⅱ）求球面 $\text{[math]}$ 的面积.

举一反三

用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（）

已知球的表面积为4π，则其半径为{#blank#}1{#/blank#}．

已知ΔABC中，三个内角A，B，C所对边长分别是a,b,c,且 $\text{[math]}$ ,b = 3， $\text{[math]}$ ,则c = {#blank#}1{#/blank#}.

已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ .

设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

奔驰定理：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ )的 $\text{[math]}$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三个内角，且点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

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