制作一个体积尽可能大的无盖长方体形纸盒

素材 1

小鸣和小天想利用一块边长为a 的大正方 形纸片制作一个无盖的长方体形纸盒.在 正方形的四个角都剪去一个边长为b的小 正方形（图 1），将剩下的图形折叠粘合， 就能得到无盖的长方体形纸盒（图 2）.

素材 2

几何体的表面积为所有面的面积之和其 表面积即为围成几何体所用材料的面积.

任务 1

请分别依据素材 1 和素材 2 表示围成长方体形纸盒所用纸张的面积， 可以得到等式                                 （用a，b表示）．

素材 3

小鸣量得正方形纸片的边长a为 ， 并且通过计算发现当小正方形的边长b 从小到大变化时，无盖长方体形纸盒的体积V也随之发生变化．

任务 2

在这个变化过程中， 自变量是                       ，

无盖长方体形纸盒的体积                    （用含b的关系式表示，不需 要化简）．

任务 3

小鸣和小天将b的多种情况带入关系式，发现当 时，                             ， 当时，                             ．

素材 4

老师帮忙绘制出了V与b的关系图像 （图 3），小鸣发现，在一定范围内V随b的增大而增大，在一定范围内V随b的增大而减小，并且最终发现当 时，V有最大值．

任务 4

请帮小天计算制作得到的无盖长方体形纸盒的体积V的最大值.