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题型：解答题题类：难易度：普通

贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考数学试题

2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A， $\text{[math]}$ 两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为 $\text{[math]}$ ；问题 $\text{[math]}$ 为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，乙能正确回答每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.

（1）、求问题A被回答正确的概率；

（2）、记正确回答问题 $\text{[math]}$ 的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

举一反三

某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．

（Ⅰ）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；

（Ⅱ）记甲组学生的成绩分别为x₁ ， x₂ ， …，x₁₂ ，执行如图所示的程序框图，求输出的S的值；

（Ⅲ）竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，小李答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为a，小李答对题的道数为b，X=|a﹣b|，写出X的概率分布列，并求出X的数学期望．

附：K²= $\text{[math]}$ ；其中n=a+b+c+d

独立性检验临界表：

P（K²＞k₀）	0.100	0.050	0.010
k₀	2.706	3.841	6.635

为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②比赛前两人答题的先后顺序通过抽签决定后，双方轮流答题，每次回答一道，；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得 3 分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且每次答题的结果相互独立．

（Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；

（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为 X，求X的分布列和数学期望 EX．

从5名男生和3名女生中任选4人参加朗诵比赛，设随机变量X表示所选4人中女生的人数，则E（X）等于（）

某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．

已知随机变量 $\text{[math]}$ 的的分布列为

$\text{[math]}$	1	2	3
$\text{[math]}$	0.4	0.2	0.4

则 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ 为{#blank#}1{#/blank#}， $\text{[math]}$ 的方差 $\text{[math]}$ 为{#blank#}2{#/blank#}.

某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 $\text{[math]}$ 内，其频率分布直方图如图．

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