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题型：解答题题类：难易度：普通

湖南省郴州市永兴县树德初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦， $\text{[math]}$ ．

（1）、求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）、若 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=4 $\text{[math]}$ ．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．

（1）求OA的长；

（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为2 $\text{[math]}$ ，直接写出∠BAF的度数．

如图，在直角坐标系中，经过点A（0，2），B（2，0）和原点O（0，0）三点作⊙C，点P为⊙C上任一点（点P与点O、B不重合），则∠OPB的度数为（）

问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上中线，过D作 $\text{[math]}$ 于点E，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}， $\text{[math]}$ {#blank#}2{#/blank#}．

请阅读以下材料，并完成相应的任务

【阅读材料】在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：

如图1，点P是弧 $\text{[math]}$ 的任意一点， $\text{[math]}$ 于点C，点D在弦 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，在弧 $\text{[math]}$ 上取一点Q，使弧 $\text{[math]}$ =弧 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ．

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE^，， CA^，，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE^，， CA^，于点F，G.

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．

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