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题型：解决问题题类：难易度：困难

重庆市南岸区11中2023年6月25日竞赛班选拔数学真题

若一个四位正整数 $\text{[math]}$ 的十位数字比个位数字大 1 ，百位数字是下位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数，把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行捙列后得到的新数 M1 叫做下丝数 $\text{[math]}$ 的万缕数。例如： 2598 ，其十位数字 $\text{[math]}$ ，百位数字 $\text{[math]}$ ，所以 2598 是千丝数， 2589 就是千丝数 2598 的万缕数。对于千丝数 $\text{[math]}$ ，定义： $\text{[math]}$ .

（1）、判断： 4376千丝数： 7787千丝数。(填"是"或"不是")

（2）、请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的 6 倍之差能被 5 整除。

（3）、若一个千丝数 $\text{[math]}$ 能被 31 整除，求出所有的千丝数，及其对应的 $\text{[math]}$ 的值。

举一反三

下面的算式中是整除的式子是（）

材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被(N-1)除余1，被(N-2)除余！……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼数(N取最大)”。

例如：73(被5除余3)被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么 73 为“明四礼数”(要求N最大，因此它不是“明三礼数”)。

材料二：设N，(N-1)，(N-2)，……，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼数”可以表示为kn+1(n为正整数)。例如：4，3，2的最小公倍数为12，那么“明四礼数”可以表示为12n+1(n为正整数)。

解答下列问题：

对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”.例如： $\text{[math]}$ 因为 $\text{[math]}$ ，所以3507是“共生数”；m $\text{[math]}$ 因为 $\text{[math]}$ 所以4135不是“共生数”

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等，现在我们来研究一种特殊的自然数—“"稳定数”。
定义：对于自然数 $\text{[math]}$ ，在计算 $\text{[math]}$ 时，各位数都不产生进位，则称这个自然数为 “稳定数”。
例如： 12 是 “稳定数” ，因为 $\text{[math]}$ 时，各位数都不产生进位： 23 不是 “稳定数” ，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，个位产生了进位。

定义新运算：a※m=ma，b△n=n+b，其中m和n互为倒数，若2※m=1，那么( $\text{[math]}$ △n)※m的值是{#blank#}1{#/blank#}。

设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K=1， 2， 3， ……， N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为 1|3，2|32，3|321 (2|32表示2被32整除) . 求六位“好数”共有多少个?

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