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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二下学期数学期初调研测试试卷

已知双曲线 $\text{[math]}$ 实轴端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为2，过 $\text{[math]}$ 点且斜率1的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

（1）、求双曲线的方程；

（2）、若过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，试探究直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．

举一反三

椭圆C： $\text{[math]}$ =1的右焦点F，过焦点F的直线l₀⊥x轴，P（x₀ ， y₀）（x₀y₀≠0）为C上任意一点，C在点P处的切线为l，l与l₀相交于点M，与直线l₁：x=3相交于N．

（I）求证；直线 $\text{[math]}$ =1是椭圆C在点P处的切线；

（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ 为定值，并求此定值；

（Ⅲ）请问△ONP（O为坐标原点）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

设直线l过点P（0，3），和椭圆 $\text{[math]}$ 交于A、B两点（A在B上方），试求 $\text{[math]}$ 的取值范围{#blank#}1{#/blank#}．

设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，两垂直直线过 $\text{[math]}$ ，与抛物线相交所得的弦分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左焦点为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.

$\text{[math]}$ 表示的曲线方程为（）

由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 $\text{[math]}$ 的“特征三角形”为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的“特征三角形”为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称椭圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ “相似”，并将 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的相似比称为椭圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的相似比.已知椭圆 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相似.

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