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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

江苏省盐城市亭湖区2021年数学中考一模试卷

如图，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将这两个三角形放置在一起.

（1）、问题发现：

如图①，当 $\text{[math]}$ 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（2）、拓展探究：

如图②，当 $\text{[math]}$ 时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），并说明理由：

（3）、解决问题：

如图③， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接CE、BD，在 $\text{[math]}$ 绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长.

举一反三

如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2 $\text{[math]}$ ，反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为{#blank#}1{#/blank#}．

定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= $\text{[math]}$ x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为（）

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在 $\text{[math]}$ 上，直径 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的延长线上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE= $\text{[math]}$ CD

如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）

（1）【发现结论】若等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积为，在求解过程中，小明发现了“含 $\text{[math]}$ 的直角三角形中， $\text{[math]}$ 所对的直角边等于斜边的一半”这一结论．

（2）【验证结论】小明设计了以下条件和结论：

已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

小明验证过程中，作如下辅助线：延长 $\text{[math]}$ 至点D，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请同学们完善下一步的证明．

（3）【应用结论】小明的学校位于点B，在学校正西处有一个洒水车始发站A，小明想通过测量洒水车播放音乐的时长来计算 $\text{[math]}$ 之间的距离，查询到洒水车的速度是4米∕每秒，洒水车播放的音乐在200米以内可以听见．已知洒水车从A出发并沿着北偏东 $\text{[math]}$ 方向行驶，小明测量出从听见音乐到音乐结束刚好1分钟，试通过以上数据求 $\text{[math]}$ 的长．

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