- 二一组卷

题型：实践探究题题类：模拟题难易度：困难

江苏省宿迁市泗洪县2021年数学中考二模试卷

（阅读）婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

证明：如图1所示内接于圆的四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线垂直于 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，由垂直关系得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由同弧所对的圆周角相等得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，同理， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ；

（1）、【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为（填“真命题”，“假命题”）；

（2）、【探究】如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为共顶点的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线垂直于 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .证明：点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；

（3）、如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为共顶点的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

举一反三

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E．