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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

北京市平谷区2019-2020学年高二年级下学期数学（期末）质量监控试卷

已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，椭圆上一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM ， PN与轴分别交于G、H两点，证明： $\text{[math]}$ 为定值．

举一反三

如图，已知离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．

已知直线l与椭圆 $\text{[math]}$ 交于两点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ =（ax₁ ， by₁）， $\text{[math]}$ =（ax₂ ， by₂），且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，则椭圆在其上一点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，试运用该性质解决以下问题：椭圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在第一象限中的任意一点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为{#blank#}1{#/blank#}.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以原点 $\text{[math]}$ 为圆心，椭圆 $\text{[math]}$ 的长半轴长为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切.

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）已知点 $\text{[math]}$ 为动直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的两个交点，问：在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，试求出点 $\text{[math]}$ 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左､右焦点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 右支上的一点.直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆在边 $\text{[math]}$ 上的切点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，其准线与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 满足直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .

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