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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

陕西省西安市碑林区第八十六中学2021届九年级上学期数学期末考试试卷

定义：长与宽之比为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形.

通过下面的操作方式我们可以折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图①所示.

操作1：将正方形 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使折叠后的点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ .

操作2：将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ .则四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形.

证明：设正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，则 $\text{[math]}$ .

由折叠性质可知 $\text{[math]}$ .

∵ $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形.

阅读以上内容，回答下列问题：

已知四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，沿用上述操作方式，得到四边形 $\text{[math]}$ ，如图②，

（1）、求证：四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 矩形.

（2）、在图②中，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）、在图②中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值.

举一反三

如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为{#blank#}1{#/blank#}．

根据图中所标注的数据，计算此圆锥的侧面积{#blank#}1{#/blank#}cm²（结果保留π）．

如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．

如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点， $\text{[math]}$ ，则△AED与△ABC的面积比是（）

如图，在△ABC中，AC＝BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，以下四个结论：①BE＝AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④ $\text{[math]}$ .其中正确的个数是（）

已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点， $\text{[math]}$ ，BE与CD交于点F．

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