- 二一组卷

题型：证明题题类：常考题难易度：普通

湖北省恩施巴东县2018-2019学年九年级下学期数学3月月考试卷

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，

求证：四边形EFGH为菱形．

举一反三

下面四个命题，其中正确的是（）
① 相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
② 对角线相等的四边形是矩形
③ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
④ 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

下列说法中正确的是（）

如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，

如图，在 $\text{[math]}$ ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（）

综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 边于点E，交 $\text{[math]}$ 边的延长线于点F，以 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ ，

特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时的情形，发现四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，请你证明这一结论；

（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接 $\text{[math]}$ ，得到图2，发现图2中线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；

拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对 $\text{[math]}$ 展开类似研究．如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．

【课本回顾】

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

（1）【定理证明】

已知：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线．

求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

关于三角形中位线定理的证明，数学兴趣小组给出如下两种证明思路：

	思路一	思路二
	如图1，过点C作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长于点F	如图2，分别过点A、B、C作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为M、H、N
图形表达

在上述两种思路中，请选择其中一种，并完成具体解题过程：

（2）【类比探究】

如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，G为 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线；

（3）【拓展提升】

①如图4，在（2）的条件下，以 $\text{[math]}$ 为边向下作等边 $\text{[math]}$ ， M、N分别是等边 $\text{[math]}$ 、等边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．请问 $\text{[math]}$ 是否是定值？若是，直接写出这个定值：若不是，请说明理由：

②如图5，在（2）的条件下，取 $\text{[math]}$ 中点T，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

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