备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题41 直角三角形的性质和判定

1. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈 $\text{[math]}$ 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（）

A . 10尺 B . 11尺 C . 12尺 D . 13尺

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2. 阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即 $\text{[math]}$ ，那么称m为广义勾股数.则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是（）

A . ②④ B . ①②④ C . ①② D . ①④

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3. 已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在格点上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是 $\text{[math]}$ 尺.根据题意，可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）

A . 100m B . 100 $\text{[math]}$ m C . 100 $\text{[math]}$ m D . $\text{[math]}$ m

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7. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

A . 1，4，5 B . 2，3，5 C . 3，4，5 D . 2，2，4

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8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A . 直角三角形的面积 B . 最大正方形的面积 C . 较小两个正方形重叠部分的面积 D . 最大正方形与直角三角形的面积和

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9. 如图，AB ， AC分别是⊙O的直径和弦， $\text{[math]}$ 于点D ，连接BD ， BC ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则BD的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 4.8

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10. 已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）

A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 等腰三角形

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11. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为尺.

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12. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 尺，根据题意，可列方程为.

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13. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为.

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在斜边 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 为直角边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 三者之间的数量关系是．

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15. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈 $\text{[math]}$ 10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高.

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16. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为.

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17. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是尺.

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18. 如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为。

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝ $\text{[math]}$ ，则BD的长度为.

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20. 我国古代数学名著（孙子算经）有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七。见方求邪，七之，五而一。”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为 $\text{[math]}$ ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是．

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21. 等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90º，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．

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22. 下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．

（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．

（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个边长为2 $\text{[math]}$ ，面积为6的等腰三角形．

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23. 如图，正方形网格中的两个小正方形的边长都是 $\text{[math]}$ ，每个小正方形的顶点叫格点，一个顶点为格点的三角形称为格点三角形：

（1）如图①，已知格点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （是或不是）直角三角形：

（2）画一个格点 $\text{[math]}$ ，使其为钝角三角形，且面积为 $\text{[math]}$

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24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A、B的对应点分别是点D、E，请直接画出旋转后的三角形简图（不要求尺规作图），并求点A与点D之间的距离。

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25. 按要求画出图形：如图，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，OA=OB，请你在图中画出以点O为中心，将△AOE逆时针旋转90°之后的图形．（不写傲法．写出结论）

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26. 如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝8米.请你求出BC的长.（结果可保留根号）

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27. 如图，在△ABC中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，AC=6，求AB、BC的长.

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28. 如图，为了测量旗杆的高度BC ，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°．求旗杆BC的高度．（结果精确到1米）【参考数据：sin52° =0.79，cos52° =0.62，tan52° =1.28】

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29. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发.

（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于4cm²？

（2）几秒钟后，P、Q间的距离等于5cm？

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30. 在Rt△ABC中，∠C=90°．

（1）已知c=25，b=15，求a；

（2）已知a= $\text{[math]}$ ，∠A=60°，求b，c．

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31. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）求 $\text{[math]}$ 的度数.

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备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题41 直角三角形的性质和判定

一、单选题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、综合题

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