浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 5 B . 7 C . 9 D . 11

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $\text{[math]}$ ），则该几何体的体积（单位： $\text{[math]}$ ）是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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7. 如图，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、G、 $\text{[math]}$ 分别是正方体 $\text{[math]}$ 中棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，记二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $\text{[math]}$ 与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . -2 B . -1 C . $\text{[math]}$ D . 1

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9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意的实数 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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10. 已知 $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，若非零向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该简谐运动的最小正周期是，振幅是．

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12. 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项是，所有项的系数和为．

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13. 古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，第四日织九尺，则第七日织尺，八日共织尺．

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14. 一个盒子里有 $\text{[math]}$ 个相同的球，其中 $\text{[math]}$ 个红球， $\text{[math]}$ 个黄球， $\text{[math]}$ 个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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16. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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17. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，若圆 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值是．

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18. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的高的最大值．

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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）求证 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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21. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到其准线的距离恰好是圆 $\text{[math]}$ 的半径．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程及其焦点坐标；

（2）过抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ （除原点外）作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
（i）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（ii）证明： $\text{[math]}$ ．

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浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

一、单选题

二、双空题

三、填空题

四、解答题

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