2015年高考文数真题试卷（湖北卷）

修改时间：2016-08-16 浏览次数：160 类型：高考真卷编辑

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一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1. i为虚数单位，（）

A . -i B . i C . -1 D . 1

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2. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 1365石

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3. 命题“， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足关系 $\text{[math]}$ ，变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关. 下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 负相关， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 负相关 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 负相关 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 负相关， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关

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5. $\text{[math]}$ 表示空间中的两条直线，若p： $\text{[math]}$ 是异面直线；q： $\text{[math]}$ 不相交，则（）

A . p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B . p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C . p是q的充分必要条件 D . p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设 $\text{[math]}$ ,定义符号函数 $\text{[math]}$ ,则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在区间的概率， $\text{[math]}$ 为事件“ $\text{[math]}$ ”的概率，则（）

A . $\text{[math]}$ <12 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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9. 将离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ 的实半轴长 $\text{[math]}$ 和虚半轴长 $\text{[math]}$ 同时增加 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 对任意的 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 对任意的 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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10. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义集合
$\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 77 B . 49 C . 45 D . 30

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二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡相对应的位置

11. 已知向量 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. .若变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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13. 函数 $\text{[math]}$ 的零点个数为 .

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14.
某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额
   （单位：万元）都在区间 $\text{[math]}$ 内，其频率分布直方图如图所示.
   （Ⅰ）直方图中的 $\text{[math]}$ ；
   （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间 $\text{[math]}$ 内的购物者的人数为 .

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15.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $\text{[math]}$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $\text{[math]}$ 的方向上，行驶600m后到达 $\text{[math]}$ 处，测得此山顶在西偏北 $\text{[math]}$ 的方向上，仰角为 $\text{[math]}$ ，则此山的高度 $\text{[math]}$ = m.

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16. a为实数，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值记为 $\text{[math]}$ . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值最小.

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17.
如图，已知圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且 $\text{[math]}$

（Ⅰ）圆 $\text{[math]}$ 的标准方程为；
（Ⅱ）圆 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为 .

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三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为d，前n项和为 $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为q．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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19.
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD $\text{[math]}$ 底面ABCD，且PD=CD，点E是BC的中点，连接DE，BD，BE
(I)证明：DE $\text{[math]}$ 底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，四面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是奇函数， $\text{[math]}$ 是偶函数， $\text{[math]}$ ，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的解析式，并证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

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四、综合题

21.
一种画椭圆的工具如图1所示． $\text{[math]}$ 是滑槽 $\text{[math]}$ 的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线 $\text{[math]}$ 与两定直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 两点．若直线 $\text{[math]}$ 总与椭圆 $\text{[math]}$ 有且只有一个公共点，试探究： $\text{[math]}$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

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2015年高考文数真题试卷（湖北卷）

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡相对应的位置

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

四、综合题

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