天津市和平区2019届高三下学期理数第二次质量调查试卷

1. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $\text{[math]}$ ，则输出 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 下列结论错误的是（）

A . 命题：“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”的逆否命题是“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ” B . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件 C . 命题：“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” D . 若“ $\text{[math]}$ ”为假命题，则 $\text{[math]}$ 均为假命题

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5. $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，所得到的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在R上的偶函数，且在 $\text{[math]}$ 上是增函数，设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与一条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为原点），则抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为（）

A . $\text{[math]}$ . B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内的一点，则当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如果 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示虚数单位），那么 $\text{[math]}$ .

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10. 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)交于两点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. 在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有种.(用数字作答)

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12. 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 $\text{[math]}$ 的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为.

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13. 若不等式 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 都成立,则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 且函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$
(Ⅰ)求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调递增区间；

(Ⅱ)在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是角 $\text{[math]}$ 的对边， $\text{[math]}$ 为锐角，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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16. 某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.

(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；

(Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

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17. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上.

(Ⅰ) 若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(Ⅱ) 求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(Ⅲ) 当平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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18. 设椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左、右焦点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点 $\text{[math]}$ ，经过原点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与该圆相切，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率．

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19. 已知单调等比数列 $\text{[math]}$ 中，首项为 $\text{[math]}$ ，其前n项和是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等差数列,数列 $\text{[math]}$ 满足条件 $\text{[math]}$
(Ⅰ) 求数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(Ⅱ) 设 $\text{[math]}$ ,记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

①求 $\text{[math]}$ ;②求正整数 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ .

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得极小值 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）记 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的实数根，若对于 $\text{[math]}$ 定义域中任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，问是否存在一个最小的正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立，若存在请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在请说明理由.

（3）设直线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 同时满足下列条件：
①直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切且至少有两个切点；

②对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ .则称直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的“上夹线”.

试证明：直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的“上夹线”.

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天津市和平区2019届高三下学期理数第二次质量调查试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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