探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,...

题型：综合题题类：模拟题难易度：普通

安徽省2018届初中毕业考试模拟冲刺数学卷(四)

探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数，每边上相邻钉子间的距离为1)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：

当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与 $\text{[math]}$ ，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；

当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1， $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ 五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5.

（1）、观察图形，填写下表：

（2）、写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可).

（3）、对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.

举一反三

3-2=1，

8+7-6-5=4，

15+14+13-12-11-10=9，

24+23+22+21-20-19-18-17=16，

…

根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）

求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³ ，将等式两边同时乘2，

得2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴ ．

将下式减去上式，得2S﹣S=2²⁰¹⁴一1

即S=2²⁰¹⁴一1，

即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴一1

仿照此法计算：

15× 15=1 ×2 ×100+25

25× 25=2×3 ×100+25

35× 35=3×4×100+25 ………

写出一般的规律为{#blank#}1{#/blank#}，请运用所学知识证明你的结论.

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