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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

广东省广州市天河区2017-2018学年七年级上学期数学期末考试试卷

A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的和谐点.例如：图1中，点A表示的数为-1，点B表示的数为2。表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1.那么点C是【A，B】的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的和谐点，但点D是【B，A】的和谐点

（1）、若数轴上M，N两点所表示的数分别为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，请求出【M，N】的和谐点表示的数；

（2）、如图2，A，B在数轴上表乐的数分别为-40和20，现有一点P从点B出发向左运动

①若点P到达点A停止，则当P点运动多少个单位时P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点？

②若点P到达点A后继续向左运动，是否存在使得P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点的情况？若存在，请直接写出此时PB的距离，若不存在，请说明理由.

举一反三

著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．

【阅读思考】

在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式 $\text{[math]}$ 改成两个平方之差的形式．解：原式 $\text{[math]}$ ﹒

定义新运算：对于任意实数 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.例如： $\text{[math]}$ .那么不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 {#blank#}1{#/blank#} .

在实数范围内定义一种新运算“#”，其规则时：a#b=a²﹣b² ．

表示ab－c，

表示ad－bc，试计算

的结果为{#blank#}1{#/blank#}.

已知符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围{#blank#}1{#/blank#}

对任意一个五位正整数m，如果首位与末位、千位与十位的和均等于9，且百位为0，则称m为“开学数”.

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