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题型：证明题题类：难易度：困难

广东省广州市执信中学2024-2025 学年九年级上学期开学考试数学试题

如图①，正方形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点P是线段 $\text{[math]}$ 上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E．

（1）、尺规作图：在图①中，过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证： $\text{[math]}$ ．

（2）、如图②，若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为6，过E作 $\text{[math]}$ 于点F，在P点运动的过程中， $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

（3）、如图③，直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

举一反三

如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是{#blank#}1{#/blank#}．

如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．

若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a²=9，b²=16，则c²为（）

如图，在矩形ABCD中，AD＝32cm，AB＝24cm，点F从点B出发沿B→C方向运动，点E从点D出发沿D→A方向运动，点E和点F的速度都为3cm/s，则当点E运动{#blank#}1{#/blank#}s后，线段EF刚好被AC垂直平分．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当 $\text{[math]}$ 的面积为3时，求出点P的坐标；

（3）过B作 $\text{[math]}$ 于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出此时点G的坐标．

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