阿特伍德机是由英国物理学家乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的,用于测量加速度及验证运动定律的机械。如图所示,一定滑轮两端分别与质量为3m的物体A和质量为m的物体B相连。不计轮轴间的摩擦力和空气阻力,假设绳子与轮轴间不会打滑。(1)若不计滑轮质量,两物体均由静止释放,试求物体A下落高度h后,两物体的速度大小;
(2)类比是一种常见的解决物理问题的方式。若滑轮的质量不可忽略,由于其自身惯性的存在,其角速度增加的过程也会受到阻碍。因此我们可以用转动惯量I作为其转动过程中惯性大小的量度,用角加速度描述其转动加快过程中角速度的变化率;
a.在把物体视为质点时,我们可以利用牛顿第二定律描述合力与加速度的关系。类比这种关系,在刚体(形变可忽略的物体)的转动过程中,我们同样可以用类似的关系描述刚体的合力矩M(力矩是矢量,大小等于物体某点所受的力与其力臂的乘积,以使物体逆时针旋转的力矩方向为正方向)与角加速度(角速度的变化率)的关系。请根据角加速度的定义,类比线速度与角速度的关系,直接写出角加速度与半径为r的圆盘边缘的线加速度a的关系,并类比质点的牛顿第二定律,直接写出刚体转动过程中合力矩、转动惯量和角加速度的关系;
b.在把系统内各物体都视为质点时,我们可以利用机械能守恒描述物体重力势能与动能的相互转化。若考虑到刚体的转动动能,我们在使用机械能守恒的过程中,动能除了我们熟知的质点的平动动能以外,还需要加上有质量的刚体的转动动能。试类比质点的平动动能,写出刚体转动角速度为时刚体的转动动能;
c.若滑轮的质量为m,半径为R,其转动惯量的表达式。请根据以上关系,求解考虑滑轮质量的前提下,与物体A相连的轻绳拉力大小 , 与物体B相连的轻绳拉力大小 , 以及物体A下落高度h后的速度大小。