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题型：解决问题题类：难易度：困难

重庆市南岸区11中2023年6月25日竞赛班选拔数学真题

若一个四位正整数 $\text{[math]}$ 的十位数字比个位数字大 1 ，百位数字是下位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数，把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行捙列后得到的新数 M1 叫做下丝数 $\text{[math]}$ 的万缕数。例如： 2598 ，其十位数字 $\text{[math]}$ ，百位数字 $\text{[math]}$ ，所以 2598 是千丝数， 2589 就是千丝数 2598 的万缕数。对于千丝数 $\text{[math]}$ ，定义： $\text{[math]}$ .

（1）、判断： 4376千丝数： 7787千丝数。(填"是"或"不是")

（2）、请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的 6 倍之差能被 5 整除。

（3）、若一个千丝数 $\text{[math]}$ 能被 31 整除，求出所有的千丝数，及其对应的 $\text{[math]}$ 的值。

举一反三

有5张卡片上面的数字分别是0，4，5，6，7，从中抽出3张组成所有三位数中能被4整除的有（　　）

规定m※n=3m－2n，已知χ※(8※4)=40，那么χ={#blank#}1{#/blank#}。

一个四位数2□□5能被45整除，则符合这个条件的四位数共有{#blank#}1{#/blank#}个。

材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被 (N—1) 除余1，被(N——2)除余1，…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数(N取最大)，例如：73被5除余3，被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数

材料二：设N， (N-1)， (N-2)， …， 3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1(n为正整数)，例如：6、5、4、3、2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1(n为正整数)。

定义：如果一个数的平方等于 $\text{[math]}$ 记为 $\text{[math]}$ 这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi(a、b为实数)的数叫做复数；其a中叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减，乘法运算类似。

例如，计算： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

根据以上信息；回答下列问题

一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为 “称心数”，如 $\text{[math]}$ ，对任意一个三位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为 “相异数”，将一个 “相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，对调百位与十位上的数字得到 213 ，对调百位与个位上的数字得到 321 ，对调十位与个位上的数字得到 132 ，这三个新三位数的和 $\text{[math]}$ ．

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