- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

辽宁省2024年中考数学试卷

已知y₁是自变量x的函数，当y₂＝xy₁时，称函数y₂为函数y₁的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y₁图象上任意一点A（m ， n），称点B（m ， mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y₁的“升幂函数”y₂的图象上．

例如：函数y₁＝2x ，当 $\text{[math]}$ 时，则函数 $\text{[math]}$ 是函数y₁＝2x的“升幂函数”．

在平面直角坐标系中，函数y₁＝2x的图象上任意一点A（m ， 2m），点B（m ， 2m²）为点A“关于y₁的升幂点”，点B在函数y₁＝2x的“升幂函数” $\text{[math]}$ 的图象上．

（1）、求函数 $\text{[math]}$ 的“升幂函数”y₂的函数表达式．

（2）、如图1，点A在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，点A“关于y₁的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．

（3）、点A在函数y₁＝﹣x+4的图象上，点A“关于y₁的升幂点”为点B ，设点A的横坐标为m ．

①若点B与点A重合，求m的值；

②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y₁的“升幂函数”y₂的图象相交于点C ，以AB ， BC为邻边构造矩形ABCD ，设矩形ABCD的周长为y ，求y关于m的函数表达式；

③在②的条件下，当直线y＝t₁与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E ， F ， G ，当直线y＝t₂与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M ， N ，若EF＝MN ，请直接写出t₂﹣t₁的值．

举一反三

综合与探究

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．

（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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