- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N^*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N^* ， 2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．

（1）、假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．

（2）、现取其中的k（k∈N^* ， 2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ₁；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ₂ ．

（ⅰ）若Eξ₁＝Eξ₂ ，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；

（ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）