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题型：实践探究题题类：难易度：困难

贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

定义：长宽比为 $\text{[math]}$ （n为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图①所示．

操作1：将正方形 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使折叠后的点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．

操作2：将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ．

则四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．

证明：设正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，则 $\text{[math]}$ ．

由折叠性质可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，

∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．

阅读以上内容，回答下列问题：

（1）、在图①中，所有与 $\text{[math]}$ 相等的线段是、， $\text{[math]}$ 的值是；

（2）、已知四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形，模仿上述操作，得到四边形 $\text{[math]}$ ，如图②，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形；

（3）、将图②中的 $\text{[math]}$ 矩形 $\text{[math]}$ 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ $\text{[math]}$ 矩形”，则 $\text{[math]}$ 的值是．

举一反三

如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，

如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE= $\text{[math]}$ BC．则矩形纸片ABCD的面积为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= $\text{[math]}$ AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．

定义新运算：A*B=A+B+AB，则下列结论正确的是{#blank#}1{#/blank#}（填序号）

①2*1=5 ②（2A）*B=2（A*B） ③A*（B+C）=A*B+A*C ④A*B=B*A

已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝ $\text{[math]}$ ，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F.

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