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题型：解答题题类：难易度：困难

山东省德州市2023年中考数学真题

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .

（1）、当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

（2）、证明：无论 $\text{[math]}$ 为何值，抛物线必过定点 $\text{[math]}$ ，并求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）、在(1)的条件下，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值.

举一反三

已知：如图一，抛物线y=ax²+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A、C两点，且AB=2．

将抛物线y=﹣3x²平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）²﹣2，下列平移方式中，正确的是（）

如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²），已知y与t之间的函数图象如图2所示．

给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S_△_ABE=48cm²；③当14＜t＜22时，y=110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t=14.5．

其中正确结论的序号是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，抛物线y=ax²﹣5ax﹣4交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C，过点C作CD∥AB，交抛物线于点D，连接AC、AD，AD交y轴于点E，且AC=CD，过点A作射线AF交y轴于点F，AB平分∠EAF．

如图：在平面直角坐标系中，直线l：y= $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax²﹣3x+c的对称轴是x= $\text{[math]}$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线y= $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q.

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