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题型：作图题题类：难易度：普通

重庆市铜梁区重点中学2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷

在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，连接CD ，过点A的射线AE交BC于点E ，交CD于点F ，当∠BAE＝∠ACD时，则必有BD＝CE ．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作∠BAE＝∠ACD ，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

（1）、用直尺和圆规在图的基础上作∠BAE＝∠ACD ， AE交BC于点E ，交CD于点F ．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

（2）、证明：∵△ABC为等边三角形

∴AC＝AB＝BC ，（） ①

在△ACD和△BAE中

$\text{[math]}$

∴△ACD≌△BAE（ASA）

∴ ▲ ③

又∵AB＝BC

∴AB﹣AD＝ ▲ ④

∴BD＝CE ．

举一反三

如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC上且AD＝CE，BE与CD相交于点F，求∠DFB的度数。

一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向．

问：线段BQ与PQ是否相等?请说明理由；

如图M2-12①，等边三角形ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B，C不重合），设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边三角形APD和等边三角形APE，分别与边AB，AC交于点M，N．

如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D ，连接AD ， BD ， CD ，其中AD ， BD分别交射线CN于点E ， P ．

如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD ， CF平分∠BCD ，分别交BC、AD于E、F ．求证：DF=BE ．

如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B ， C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB^'C^' ，则点C^'的坐标为 {#blank#}1{#/blank#}．

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