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题型：实践探究题题类：难易度：困难

湖北省随州市曾都区2023年中考一模数学试题

【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边AC，BC的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？

（1）、【特例探究】若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE，AC分别交于点M，N．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：

∵ $\text{[math]}$ ， E，F分别为AC，BC的中点，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）

∴AEBF， $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AEBM．

（2）、【猜想证明】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF，BC分别交于点M，N，猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

（3）、【拓展运用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线AE，BF相交于点M，当以点C，E，M，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长．

举一反三

如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点G ，则DG：GC的值为（）

如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．

如图，取一根9.5m长的标杆AB，在其上系一活动旗帜C，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D处．若测得旗高BC＝4.5m，影长BD＝9m，影长DE＝5m，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD，DE均与坝底线DM垂直)．

如图，梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y= $\text{[math]}$ （k＞0）经过A，E两点，若AC ： OB = 1：3，梯形AOBC面积为24，则k =（）

如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为（）

如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积等于3，则 $\text{[math]}$ 的值等于（）

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