- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：普通

青海省2023年中考一模数学试题

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： $\text{[math]}$ ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.

（1）、求抛物线和直线AB的解析式；

（2）、点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及 $\text{[math]}$ ；

（3）、是否存在一点P，使S_△PAB= $\text{[math]}$ S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

举一反三

（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y=a（x﹣h）²+k的形式；

（2）画出此函数图象的示意图．

已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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