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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

上海市黄浦区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点O，点M为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内部做射线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点N（不与点A、点O重合）、与线段 $\text{[math]}$ 交于点P，且 $\text{[math]}$ ．

（1）、当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的正切值；

（2）、射线 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 与点Q，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）、设线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出y关于x的函数关系式，并写出取值范围．

举一反三

在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 $\text{[math]}$ 的值是( )

如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是（）

如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高为8，点A离点C的距离是3，点B离点D的距离是2.一只蚂蚁沿长方体表面从点A爬到点B，其最短距离是（）

【问题呈现】

$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系：____________；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

【拓展应用】

（3）当 $\text{[math]}$ 时，将 $\text{[math]}$ 绕点C旋转，使 $\text{[math]}$ 三点恰好在同一直线上，求 $\text{[math]}$ 的长．

在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ．

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